Đánh đề và luật số lớn

 Trong bài báo “Anh Paul bạch tuộc và luật số lớn” (TTCT số 11, ngày 1-4-2018), ta đã rút ra một nguyên lý toán học rất quan trọng, đó là luật số lớn. Nếu một thí nghiệm thành công với xác suất là p và ta lập lại thí nghiệm này N lần, thì số lần thành công sẽ xấp xỉ Np nếu Np không quá bé.

Những điều thật may mắn (như trúng xổ số) xảy ra với bạn với xác suất rất nhỏ, nhưng nó sẽ xảy ra với nhiều người khác bởi N, số người mua xổ số, là rất lớn. Nếu xác suất trúng giải lớn là 1 phần triệu và có 10 triệu người mua vé, thì trung bình sẽ có 10 người trúng giải. Luật số lớn ở đây giúp ta giải thích các hiện tượng rất hiếm. Trong bài này, ta sẽ ứng dụng luật số lớn để hiểu rõ hơn một số trò chơi may rủi.

Một trò chơi rất quen thuộc với người Việt là chơi số đề. Số đề, về lý thuyết, là bị cấm. Trên thực tế, nó được chơi trên phạm vi toàn quốc hết sức rộng rãi và dựa trên kết quả của xổ số nhà nước. Người chơi chỉ phải dự đoán hai chữ số cuối của vé trúng số. Khi trúng thì được nhận lại 70 lần số tiền đặt cọc. 

Nếu việc quay xổ số hoàn toàn là ngẫu nhiên, thì xác suất đoán trúng hai chữ số cuối hiển nhiên là 1/100. Ta có thể lấy p=1/100, N là số người chơi trong một cộng đồng nào đó. Trung bình sẽ có Np người trúng. Nếu ai đó chơi số đề, thường cũng biết ít nhất vài trăm người chơi khác (chẳng hạn 300).

Trong trường hợp đó, hằng tuần sẽ có chừng 3 người trong số người quen của anh ta trúng thưởng, kéo theo các cuộc nhậu om sòm. Điều này tạo ra tâm lý đây là một trò dễ trúng, và điều này phần nào giải thích số lượng rất đông người chơi trò may rủi này.

Nhưng đây có phải một trò chơi có lợi cho người chơi, nhất là những người chơi lâu dài, tới mức nghiện? Số lượng người nghiện đề rất lớn. Như đã biết, việc chọn hai con số nào, với từng người chơi, là một quá trình phức tạp, mang cả yếu tố tâm linh lẫn tính toán. Mỗi người chơi thường đặt ra một luật chơi cho riêng mình, cộng thêm các yếu tố ngẫu nhiên, như hôm nay nằm mơ thấy gì. Chẳng hạn trên Internet có bảng tổng kết sau:

14 - 54 - 94: con mèo nhà

15 - 55 - 95: con chuột

16 - 56 - 96: con ong

17 - 57 - 97: con hạc

18 - 58 - 98: con mèo rừng

19 - 59 - 99: con bướm

20 - 60: con rết (con rít)

21 - 61: Thúy Kiều

Qua đây đủ thấy việc chọn số đã rất tinh vi và cần một sự tập trung cao độ, trong cả khi ngủ, vì người nằm mơ phân biệt được mèo rừng và mèo nhà. Ngoài ra còn biết được Thúy Kiều trông như thế nào.

Nhưng toán học vốn lạnh lùng. Để hiểu cặn kẽ vấn đề, ta cần làm quen với khái niệm “kỳ vọng”. Từ này được dùng nhiều trong cuộc sống hằng ngày. Trong tình huống ta muốn phân tích, kỳ vọng của một việc đo giá trị trung bình lợi nhuận ta có thể có từ việc đó.

Ví dụ: chơi trò tung xu, nếu ngửa thì thắng gấp đôi tiền đặt, nếu sấp thì mất tiền đặt. Giả sử bạn đặt 1 đồng, xác suất ngửa và sấp đều là 1/2. Vậy với xác suất 1/2, bạn mất 1 đồng đặt cọc và với xác suất 1/2, bạn lấy lại tiền cọc và được lãi thêm 1 đồng. Kỳ vọng của trò chơi là .5* (-1) +.5* (1) = 0

Trong số đề, giả sử ta đặt 1 đồng, xác suất thắng là 1/100 và trong trường hợp đó, ta thu lại được tiền cọc và thêm 69 đồng. Với xác suất 99/100, ta mất 1 đồng đặt cọc. Trong trường hợp này, kỳ vọng của trò chơi là .99* (-1) +.01* (69) = -.3

Vậy kỳ vọng của trò chơi là ta sẽ mất 30% số tiền đặt cọc.

Luật số lớn, trong trường hợp này, nói rằng nếu ta chơi N lần, trong đó N là một số tương đối lớn (N >20), mỗi lần có kỳ vọng là x thì với xác suất rất cao, số tiền thu về cuối cùng sẽ gần với Nx (xác suất này có thể tính chính xác, nhưng chúng tôi sẽ không đi sâu vào vấn đề này ở đây).

Nếu trong một năm, tuần nào bạn cũng đặt 100.000 đồng số đề, x = -. 3*100.000 = -30.000 và N = 50. Luật số lớn sẽ nói rằng bạn sẽ mất khoảng 30.000*50 = 1.500.000 đồng. Trong trường hợp tổng quát, nếu mỗi tuần đặt một số tiền khác nhau, số tiền mất sẽ xấp xỉ 30% tổng số tiền đặt cọc.

Chơi đề cũng có nhiều luật khác. Chẳng hạn nếu chơi 3 chữ số thì đặt 1 thắng 600 nghe còn hấp dẫn hơn chơi 2 chữ số đặt 1 thắng 70. Nhưng nếu tính kỹ thì kỳ vọng còn tệ hơn trường hợp trước. Xác suất trúng của người chơi hiện chỉ còn 1/1.000=.001, trong khi đó xác suất không trúng là .999. Như vậy, kỳ vọng của trò chơi sẽ là .999*(-1) +.001 (599) = -.4

Có nghĩa là nếu chơi kiểu này trong một thời gian dài, người chơi sẽ mất tiền nhanh hơn, chừng 40% số tiền đặt, thay bằng 30% như luật chơi hai số.

Kỳ vọng âm là nguyên lý chung của nhiều trò chơi may rủi trong casino. Một khi bạn chơi một trong các trò như vậy, luật số lớn sẽ đảm bảo người chơi sẽ mất tiền đều đặn nếu chơi trong một thời gian dài (N lớn). Nhà cái không cần lừa đảo hay có bất kỳ thủ đoạn nào.

Ta có thể phân tích một trò chơi khác là rulette. Trò này nếu thoạt nhìn thì rất công bằng với người chơi. Người chơi đặt 1 trong 36 con số từ 1 đến 36. Các số có hai màu: đỏ và đen. Nếu đặt theo màu mà trúng thì tiền được tăng gấp đôi (như chơi tung xu). Nếu đặt một số từ 1 đến 9, khi trúng tiền sẽ tăng gấp 4. Nếu đặt một số, chẳng hạn 12, mà trúng thì tiền được tăng 36 lần.

Có rất nhiều cách đặt tiền như vậy. Nhìn qua thì đây là một trò rất công bằng vì số tiền được thường tỉ lệ nghịch với xác suất trúng. Nhưng nhà cái đã tế nhị cho thêm số 0 vào bàn quay. Nếu bị dừng lại ở số 0 thì người đặt mất hết. Điều này làm kỳ vọng trở nên âm và đảm bảo chiến thắng cho nhà cái trong thời gian lâu dài.

Như ta đã nhấn mạnh, luật số lớn chỉ áp dụng khi N lớn, vì vậy các casino đều tìm cách để khách chơi càng lâu càng tốt với những biện pháp như ăn uống miễn phí, hoặc xem show giá rẻ, khách sạn giá rẻ...

Một biện pháp quan trọng nữa là họ giới hạn số tiền chơi mỗi lần. Nếu một khách đem một khoản tiền cực lớn đến chỉ để chơi rullette đỏ đen trong một ván, thì casino có thể sập tiệm với một khả năng đáng kể. Nhưng điều đó không xảy ra vì các luật lệ của casino đã giới hạn mức đặt cho khách tại mỗi cuộc chơi.

Trong số đề, người ghi đề cũng có những cách tự bảo vệ tương tự, như không nhận quá nhiều tiền vào một số (ngôn ngữ chuyên nghiệp là con đề đã “no”). Về mặt toán học, chắc chắn nhất cho người ghi đề là họ dàn đều được tiền trên tất cả các con số. Trong trường hợp này, kiểu gì họ cũng lãi 30% tổng số tiền đặt.■

spinning roulette in casino