Maryam Mirzakhani: Người của những mặt cong

Maryam Mirzakhani (phải) nhận huy chương toán học Fields từ Tổng thống Hàn Quốc Park Geun Hye - Ảnh: wordpress.com

Theo ủy ban xét giải, Maryam Mirzakhani được trao giải vì “những đóng góp xuất sắc trong việc nghiên cứu hình học và động học các mặt Riemann cũng như các không gian moduli của chúng”.

Những đóng góp của Maryam Mirzakhani được đánh giá là tinh vi và nguyên bản đối với lĩnh vực toán học chuyên ngành của cô, chủ yếu là vì phương pháp tiếp cận mới mẻ và độc sáng.

 

 

Mới mẻ và độc đáo

Những mặt cong mà Maryam Mirzakhani nghiên cứu là các mặt hyperbolic. Chúng là những vật thể trừu tượng, với các đặc trưng như độ cong, độ dài, góc giữa các đường, được tính toán bởi các phương trình. Làm việc với các mặt hyperbolic khá khó khăn, vì ngay ở khâu đầu tiên là hình dung các tính chất hình học chúng cũng không phải dễ dàng gì.

Với người ngoại đạo, có thể hình dung một số mặt hyperbolic đơn giản như mặt xuyến hoặc bề mặt của một chiếc yên ngựa. Còn nhớ khi học phổ thông, chúng ta đều học hình học phẳng ngay từ đầu cấp II, còn gọi là hình học Euclide.

Với loại hình học này, mặt phẳng hai chiều sẽ trơn tru như mặt tờ giấy kéo dài ra vô tận. Nếu ta vẽ một tam giác ở trên đó thì tổng ba góc của tam giác sẽ là 180 độ. Nhưng với các mặt cong, các đặc trưng hình học của nó cũng rất khác so với hình học phẳng thông thường. Chẳng hạn, trên bề mặt của một chiếc yên ngựa, nếu ta vẽ một tam giác thì tổng ba góc sẽ nhỏ hơn 180 độ.

Ngược lại, nếu trên một mặt cầu, tổng ba góc của một tam giác sẽ lớn hơn 180 độ. Bạn có thể hình dung điều này rõ ràng khi tưởng tượng bổ Trái đất thành những miếng có cạnh chạy dọc theo đường kinh tuyến và xích đạo. Khi đó, bề mặt của mỗi miếng là một hình tam giác cầu, nhưng tổng ba góc của tam giác này không phải 180 độ như đối với tam giác phẳng, vì ít nhất tam giác cầu này có hai góc vuông, là nơi đường kinh tuyến và xích đạo giao nhau.

Một hình ảnh khác về những mặt cong hyperbolic mà Maryam Mirzakhani nghiên cứu là mặt xuyến có hai hay nhiều lỗ. Trên một mặt như thế, một người ngồi tại mỗi điểm trên mặt xuyến sẽ có một trải nghiệm như đang ngồi trên một chiếc yên ngựa. Maryam Mirzakhani say mê những mặt cong này và tập trung khám phá chúng.

Không chỉ quan tâm đến những tính chất hình học của chúng, cô còn co kéo, bóp méo chúng để xem chúng biến đổi thế nào. Những hình dạng hình học sau khi đã bị co kéo hoặc nhào nặn như vậy tạo thành một thế giới riêng, gọi là không gian moduli.

Maryam Mirzakhani nghiên cứu những mặt cong và cả không gian moduli của chúng, xem chúng biến dịch ra sao và liên hệ với nhau như thế nào. Vì thế, nghiên cứu của Maryam Mirzakhani chính là sự kết hợp đầy tinh tế và phức tạp giữa hình học và động học của các mặt cong.

Chẳng hạn, một trong số các thành tựu đáng kể nhất của Maryam Mirzakhani là nghiên cứu, diễn giải nôm na là truy tìm quỹ đạo chuyển động của quả bóng bida trên một bàn đa diện phẳng. Khi chơi bida, quả bóng sẽ va đập liên tiếp vào cạnh bàn và tiếp tục chuyển động theo một quỹ đạo nào đó. Câu hỏi là làm sao để hiểu và mô tả quỹ đạo này? Vấn đề này ban đầu được nêu ra bởi các nhà vật lý, khi họ muốn tìm hiểu quỹ đạo của quả bóng bida trong một bàn hình tam giác. Thoạt nhìn thì đây chỉ là một bài toán tầm phào, có thể xử lý trong vài ngày hoặc một tuần, ai dè hơn trăm năm sau vẫn chưa có lời giải rốt ráo.

Maryam Mirzakhani đã đi tìm câu trả lời cho bài toán này bằng một cách rất độc đáo. Thay vì dõi theo chuyển động của bóng bida, liên tục va đập với thành bàn và rất khó đoán định, cô co kéo giãn và uốn dẻo chiếc bàn như một miếng bột mì mỏng, sao cho trong hình dung, quả bóng luôn chuyển động thẳng. Như vậy, không chỉ là quan tâm đến quả bóng và một chiếc bàn bida, cô quan tâm đến thế giới của tất cả chiếc bàn khả dĩ được sinh ra bởi sự biến dịch theo những quy luật toán học này.

Tập hợp của tất cả những chiếc bàn bida bị bóp méo đó tạo thành không gian moduli. Như vậy, thay vì nghiên cứu quỹ đạo phức tạp của quả bóng bida, giờ đây Maryam Mirzakhani nghiên cứu chiếc bàn bida dịch chuyển và thế giới những biến thể khả dĩ của nó. Đó chính là lý do vì sao động học, ngành khoa học của chuyển động và biến dịch, lại xuất hiện trong các nghiên cứu về hình học các mặt cong của cô.

Chỉ bằng cảm nhận thông thường, người ngoại đạo cũng có thể nhận thấy rằng động học của những chiếc bàn co giãn này có vai trò đặc biệt quan trọng trong nghiên cứu hình học của Mirzakhani. Trước đó, cô đã có những đóng góp đáng kể vào lý thuyết về không gian moduli của các mặt Riemann.

Cô tìm ra công thức tính các đường trắc địa kín đơn giản trên mặt cong hyperbolic và cũng tìm ra cách chứng minh mới cho ước đoán Edward Witten, một bài toán rất khó, đến mức Maxim Kontsevich của Viện nghiên cứu cao cấp tại Paris được trao huy chương Fields năm 1998 một phần cũng nhờ chứng minh được ước đoán này.

Mặt cong hình xuyến có ba lỗ

Tổng ba góc của một tam giác cầu lớn hơn 180 độ. Khi diện tích xét đến rất nhỏ, mặt cầu có thể coi gần đúng là mặt phẳng, khi đó tổng ba góc của một tam giác bằng 180 độ - Ảnh: Wikipedia

Theo đuổi vẻ đẹp sâu thẳm của toán

Mirzakhani luôn khẳng định nghiên cứu của mình là thuần túy lý thuyết, dù trên thực tế đã có một số ứng dụng sử dụng nghiên cứu của cô, chẳng hạn trong việc hiểu thấu đáo kiến trình trong các phòng gương của các đơn vị canh gác an ninh. Các thảo luận về sử dụng kết quả nghiên cứu này cho các lĩnh vực khác của toán học và vật lý trường lượng tử, đặc biệt là lý thuyết dây, cũng được nhắc đến rộng rãi.

Trong khoa học, cuộc tranh luận về nghiên cứu lý thuyết thuần túy hay định hướng ứng dụng luôn không có điểm kết, tùy theo quan niệm của mỗi người. Những người thích khoa học ứng dụng nhìn toán lý thuyết như trò chơi vô dụng. Với họ, cái có ý nghĩa là cái dùng ngay được. Nhưng với Mirzakhani, toán học thuần túy mới là cái mà cô theo đuổi vì vẻ đẹp sâu thẳm của nó, chứ không phải là những ứng dụng trước mắt.

Nổi tiếng là người kiên định trong nghiên cứu, những vấn đề Mirzakhani giải quyết có thể kéo dài hàng năm, thậm chí cả thập kỷ. Ngay cả với công trình hợp tác cùng Eskin, về không gian moduli của chiếc bàn bida, cũng kéo dài đến sáu năm.

Khi hoàn thành và nhìn lại, bản thân Maryam Mirzakhani cũng ngạc nhiên vì chặng đường mà cả hai đã trải qua: “Nếu chúng tôi biết rằng mọi thứ phức tạp như vậy, tôi nghĩ có thể chúng tôi đã từ bỏ”. Nhưng họ đã không bỏ cuộc, định lý mà họ đạt được thậm chí còn được coi là định lý của thập kỷ.

Maryam Mirzakhani cho rằng nghiên cứu toán học cũng giống như viết tiểu thuyết: có nhiều nhân vật khác nhau và bạn phải hiểu rõ chúng: “Mọi thứ biến đổi, và khi bạn nhìn lại nhân vật của mình, chúng khác hoàn toàn so với ấn tượng ban đầu của bạn về chúng”. Cô say mê toán học vì vẻ đẹp của nó - vẻ đẹp mà chỉ những người kiên nhẫn và gắng công mới có thể hiểu được.

                                                  

                   

Với người dân Iran, thành công của Maryam Mirzakhani chắc chắn sẽ có những tác động lớn lao, đặc biệt là trong khoa học và giáo dục.

Chỉ xét một chi tiết rất nhỏ, Tổng thống Iran Hassan Rouhani đã đăng tấm ảnh không đội khăn trùm đầu của Maryam Mirzakhani trên Twitter, một hình ảnh đi ngược với truyền thống của phụ nữ Hồi giáo, cũng đủ thấy sức tác động của sự kiện này đến đời sống thường ngày của người dân Iran.

Với cương vị là phụ nữ đầu tiên được giải thưởng Fields, đặc biệt lại là người Iran, Maryam Mirzakhani, một cách tự nhiên, sẽ được coi như bộ mặt của phái nữ trong toán học và ngôi sao của giới truyền thông. Nhưng thật thú vị, cô đã chọn cách lảng tránh truyền thông để tập trung vào dự án nghiên cứu mới đầy tham vọng.

Thông cáo của ĐH Stanford, nơi cô đang làm việc, nêu rõ: Maryam Mirzakhani sẽ không trả lời phỏng vấn báo chí trong dịp này.